ARCH 模型深入推導報告：完整融合版

前言

ARCH 模型自1982年由 Robert F. Engle 提出以來，開創了波動性建模的新紀元，打破了傳統「變異數恆定」的假設。其對風險管理、選擇權定價、投資組合優化等應用領域產生了革命性的影響，並最終促成 Engle 獲得 2003 年諾貝爾經濟學獎。本報告將融合兩份報告內容，提供大量繁體中文敘述，逐步解析每一推導步驟，並以三個具體案例說明 ARCH 模型在實務上的應用。

1. ARCH 模型的意義與背景

金融市場中最重要的特性之一就是波動性（Volatility），它描述了資產價格在一段時間內的變動幅度。傳統統計模型常假設誤差項具有恆定變異數（即同質變異數），然而大量實證資料顯示，金融市場中的波動性是隨時間變化的，且經常呈現出波動率叢集現象：當市場遭遇重大事件時，波動會急劇上升，而在平穩時期則保持低波動。

ARCH 模型正是針對這一現象而提出，其創新之處在於允許誤差項的條件變異數隨著過去的資訊改變，從而能夠動態捕捉市場中波動性集群的特點。這一方法論的突破不僅使得風險管理、資產定價等領域獲得顯著進展，更為後續發展出 GARCH、EGARCH、TARCH 及隨機波動性（SV）模型奠定了理論基礎。

重點提示： ARCH 模型的核心在於突破傳統恆定變異數的限制，根據過去的時間序列數據的殘差平方，動態地調整當期變異數，這正如物理系統中能量隨外部擾動而變化一般。

用物理學語言來說，您可以將市場的波動性比作一個物理系統的能量。傳統模型假設該系統能量固定不變，而現實中，當系統受到外界強烈擾動後，其能量會增加，並在一段時間內保持在較高水平。ARCH 模型正是用類似於能量動態擴散的思路，將過去的能量釋放（即市場衝擊）納入當期能量（波動性）的預測。

2. ARCH 模型的數學推導與詳細步驟

2.1 平均數方程式：描述資產報酬率

在開始討論波動性建模前，我們首先建立一個描述資產報酬率的平均數方程式。令

r_t = μ + φ₁r_t-1 + φ₂r_t-2 + ... + φ_pr_t-p + ε_t

其中：

μ：報酬率的常數項，代表長期平均水平；
φ₁, φ₂, …, φ_p：自迴歸係數，用以描述前 p 期報酬率對當期報酬率的影響；
ε_t：殘差項或創新項，代表市場中無法預測的隨機衝擊，且滿足 E(ε_t) = 0 的條件。

此部分相當於物理學中描述系統平均運動狀態的方程式，主要用於捕捉報酬率的趨勢與週期性，但並不涉及波動性本身的變化。

2.2 條件變異數方程式：動態捕捉波動性

為了允許波動率隨時間變化，ARCH 模型引入條件變異數的概念，記作 σ_t²，定義為：

ε_t | 𝓕_t-1 ~ N(0, σ_t²)

接著，ARCH 模型假設當期條件變異數 σ_t² 可由過去 q 期的殘差平方表示：

σ_t² = ω + α₁ε_t-1² + α₂ε_t-2² + ... + α_qε_t-q²

上式說明了當過去某一期出現較大衝擊 (ε_t² 較高) 時，當期 σ_t² 也會變大，捕捉「波動率叢集」的特性。

2.3 參數估計與模型檢驗

通常以最大似然估計 (MLE) 來求取上述參數 (ω, α₁, …, α_q)；估計完成後需對殘差進行檢驗，確保其獨立性與常態性。此步驟猶如物理實驗中根據數據校正理論參數、檢驗理論與現象的吻合度。

2.4 物理學類比：從能量擾動看波動性

若以物理系統類比，市場波動性可視為系統能量狀態。當外部衝擊令系統能量提高時，便對應到金融市場中出現大幅度的價格波動；ARCH 模型中對過去殘差平方的考慮，則相當於記錄並動態更新系統的能量水平。

3. ARCH 模型在現代金融工程中的應用與影響

ARCH 模型在金融工程領域的影響主要集中在以下幾方面：

波動性建模的新紀元：突破傳統恆定變異數假設，為後續 GARCH、EGARCH、TARCH、SV 等模型奠定基礎。
風險管理：配合 VaR、ES 等指標，更準確預測市場劇烈波動時的風險。
資產定價與選擇權定價：可替代常數波動率假設，進而修正 Black-Scholes 模型、令定價更貼近現實。
投資組合管理：提供時變波動率與相關性估計，幫助動態調整資產配置。
推動金融計量經濟學發展：引發大量相關研究，形成龐大的 GARCH 家族與隨機波動性 (SV) 模型。

4. 三個具體應用案例

案例一：風險管理中的 VaR 計算

透過 ARCH(1) 模型可動態預測明日的條件變異數，例如 σ_t+1² = ω + α₁ε_t²，並據此計算在某置信水平下的最大可能損失 (VaR)。能量擾動越大，模型立即反映在明日風險預測上。

案例二：選擇權定價中的波動率估計

將 ARCH 模型估計出的時變波動率輸入改良後的 Black-Scholes 模型，可令選擇權定價更能貼近真實市場狀況。

案例三：投資組合管理中的動態資產配置

配合 ARCH 模型取得的時變條件變異數，可在市場波動加劇時降低持倉比例，於平穩時提高持倉，提升整體風險調控效率。

5. 總結

綜上所述，ARCH 模型在捕捉金融市場的「波動率叢集」與時變波動性方面極具代表性，其在風險管理、選擇權定價與投資組合管理的實務應用皆能顯著提升預測與決策效率。搭配後續發展出的 GARCH、EGARCH 等模型，ARCH 理論已成為現代金融工程不可或缺的重要基石。

若從物理角度來看，ARCH 將「能量動態」的思維套用到資本市場，讓過去殘差的釋放能量影響當期變異數。這種「帶有記憶效應的能量模型」正是 ARCH 理論最精妙之處，亦說明了其能夠貼近現實市場之原因。

參考資料

Engle, R. F. (2003). Nobel Prize Lecture – Risk and Volatility: Econometric Models and Financial Practice.
Engle, R. F. (2002). New Frontiers for ARCH Models. Journal of Applied Econometrics.
Investopedia – ARCH 模型介紹。
NobelPrize.org – Robert F. Engle III 相關資料。
書籍：《Introduction to Computational Finance and Financial Econometrics with R》– 第 10.1 節：Engle’s ARCH Model。