期權買權-賣權 Parity (Put-Call Parity) 報告

1. 前言

在金融衍生性商品市場中，期權扮演著重要角色。買權（Call Option）與賣權（Put Option）是兩種基本期權類型，而 Put-Call Parity 則揭示了歐式期權定價理論中的一項基礎原則。本報告將詳細介紹該理論的定義、原理、實務應用與限制，並通過一個生動而細緻的案例解析，協助初學者深入了解這一重要概念。

2. Put-Call Parity 的定義與公式

Put-Call Parity 是一種描述歐式買權（Call Option）、歐式賣權（Put Option）、標的資產（如股票）以及無風險債券之間價格關係的金融原則。這個原則基於一個簡單但強大的理念：如果兩個投資組合在到期時的價值相同，那麼它們在當前的價值也應該相等。這種等價關係為期權定價和套利策略提供了重要的理論基礎。

2.1 基本公式

Put-Call Parity 的基本公式如下：

C + PV(K) = P + S

其中：

C：歐式買權的當前價格。買權賦予持有者在到期日以履約價 K 購買標的資產的權利。
P：歐式賣權的當前價格。賣權賦予持有者在到期日以履約價 K 出售標的資產的權利。
S：標的資產（例如股票或其他商品）的現行市場價格。
K：期權的履約價（Strike Price），即買權或賣權的執行價格。
PV(K)：履約價 K 的現值（Present Value），表示將來在到期日支付 K 元的現時價值。通常，PV(K) 計算為 K * e^-rT，其中：
- r：無風險利率（連續複利），反映市場上無風險投資的回報率。
- T：期權的到期時間（以年計）。
- e：自然常數（約 2.71828）。

這個公式表明，持有買權並同時持有等於履約價現值的無風險債券，與持有賣權並同時持有標的資產，在經濟上是等價的。這意味著這兩種組合在到期時的價值將相同，因此它們在當前的市場價格也應該相等。

2.2 公式的直觀解釋

為了更好地理解 Put-Call Parity，我們可以將其分解為兩個投資組合：

組合 A： 買入一個歐式買權（C）並投資 PV(K) 的無風險債券（即在到期日價值為 K 的債券）。
組合 B： 買入一個歐式賣權（P）並買入標的資產（S）。

在到期日，這兩個組合的價值將取決於標的資產的價格（S_T）：

如果 S_T > K，則：
- 組合 A：買權價值為 S_T - K，債券價值為 K，總價值為 S_T。
- 組合 B：賣權價值為 0，標的資產價值為 S_T，總價值為 S_T。
如果 S_T ≤ K，則：
- 組合 A：買權價值為 0，債券價值為 K，總價值為 K。
- 組合 B：賣權價值為 K - S_T，標的資產價值為 S_T，總價值為 K。

無論標的資產的到期價格如何，組合 A 和組合 B 的到期價值始終相等（要麼都是 S_T，要麼都是 K）。因此，根據無套利原則，這兩個組合在當前的價值也應該相等，即 C + PV(K) = P + S。

2.3 公式的推導

Put-Call Parity 的推導基於構建兩個到期時現金流相同的投資組合。通過比較這兩個組合在到期日的價值，我們可以得出它們在當前的價格關係。

具體來說，假設我們有以下兩個投資組合：

投資組合 A： 買入一個歐式買權（C）並持有等於 PV(K) 的無風險債券。
投資组合 B： 買入一個歐式賣權（P）並買入標的資產（S）。

在到期日 T，標的資產的價格為 S_T：

對於投資組合 A：
- 如果 S_T > K，則執行買權，獲得 S_T - K，並加上債券的 K，總價值為 S_T。
- 如果 S_T ≤ K，則不執行買權，債券價值為 K，總價值為 K。
對於投資組合 B：
- 如果 S_T > K，則賣權無價值，標的資產價值為 S_T，總價值為 S_T。
- 如果 S_T ≤ K，則執行賣權，獲得 K - S_T，並加上標的資產 S_T，總價值為 K。

因此，無論 S_T 為何，投資組合 A 和 B 的到期價值都相等。根據無套利原則，兩個現金流相同的投資組合在當前的價格也應該相等，即：

C + PV(K) = P + S

2.4 Put-Call Parity 的重要性

Put-Call Parity 在金融市場中具有重要意義，主要體現在以下幾個方面：

定價一致性： 它確保了買權和賣權的定價與標的資產和無風險債券的定價相一致，維護了市場的價格均衡。
套利機會識別： 當市場價格偏離 Put-Call Parity 時，交易者可以利用套利策略獲取無風險利潤，從而推動市場價格回歸均衡。
期權定價模型的基礎： Put-Call Parity 是許多期權定價模型（如 Black-Scholes 模型）的理論基礎，幫助交易者和分析師理解期權價格的形成機制。
合成投資組合： 交易者可以利用 Put-Call Parity 合成出與其他金融工具等效的投資組合，從而實現多樣化的投資策略和風險管理。

總之，Put-Call Parity 為期權市場提供了一個基本的價格關係框架，是理解和應用期權理論的關鍵。

3. Put-Call Parity 的原理

這一等價關係基於「無套利原則」，也就是說，在有效市場中不存在無風險獲利的情況。若價格偏離此理論，市場參與者會利用套利機會進行買賣，迫使價格回歸合理水平。透過構建兩個到期時現金流相同的投資組合，我們可以推導出上述公式，從而揭示各項金融工具之間的內在聯繫。

4. 交易實務應用

Put-Call Parity 為交易者提供了多種應用：

套利機會： 當市場價格偏離公式所示的等價關係時，可利用套利策略獲取無風險利潤。
檢驗定價模型： 若模型產生的期權價格與實際市場價格存在顯著偏差，可能表明模型需要調整。
合成投資組合： 利用買權、賣權、標的資產與無風險債券，可構建出與其他資產等效的部位。

5. 限制

儘管理論上成立，Put-Call Parity 在實務中仍受以下因素影響：

僅適用於歐式期權： 由於美式期權可提前執行，其價格關係僅能以不等式形式表示。
股息與持有成本： 當標的資產派發股息或存在其他持有成本時，公式需作相應調整。
交易成本與市場摩擦： 實際操作中的手續費及流動性限制可能使套利機會難以捕捉。

6. 結論

Put-Call Parity 為期權定價理論中的基石，揭示了買權、賣權、標的資產與無風險投資間的必然聯繫。透過理解此理論，交易者不僅能識別市場中可能存在的套利機會，還能運用該原理合成出多樣的投資策略，進一步提升風險管理能力。即使在實務應用中存在一定限制，該概念依然為市場價格均衡提供了堅實理論支持。

7. 附錄：演唱會門票案例解析

以下以更為詳細、細膩的方式，說明 Put-Call Parity 的概念。透過「演唱會門票」的形象化方式，讓初學者能一步步理解買權、賣權與現貨門票之間的關係，以及市場如何透過套利機制維持價格平衡。

想像一下：演唱會門票的秘密

假設你非常喜歡一個歌手，他下個月要開演唱會。演唱會門票現在一張是 2000 元。

你現在在考慮兩種東西：

買權（Call Option）

想像一下，你可以買一種「預購權」，這個權利讓你可以在下個月演唱會開始前，用 2100 元 的價格買到這張原價 2000 元的門票。
聽起來好像有點笨？但別急，繼續看下去。

賣權（Put Option）

另外，你也可以買一種「保險」，這個保險保證你可以在下個月演唱會開始前，用 1900 元 的價格把你的門票賣出去。
萬一演唱會當天下大雨，或是歌手感冒取消了，門票可能就沒人要了，但有了這個保險，你至少能賣 1900 元，減少損失。

現在，我們來思考一個問題：這兩種「權利」和「保險」之間，有沒有什麼關聯性呢？

神奇的等價關係 (Parity) 出現了！

我們來玩一個情境遊戲，假設下個月演唱會真的開始了，會有兩種情況：

情境一：演唱會超級成功！門票價格漲到 2500 元！

如果你一開始買了「買權」：
你當然會開心地用 2100 元買進門票，然後立刻用 2500 元賣出去，淨賺 400 元！（2500 - 2100 = 400）
如果你一開始買了「賣權」：
這時候「賣權」就沒用了，因為門票價格漲到 2500 元，誰會想用 1900 元賣給你？所以賣權就等於作廢了。
如果你直接買了門票：
你的門票就價值 2500 元。

情境二：演唱會超衰的！歌手感冒取消，門票價格跌到 1500 元！

如果你一開始買了「買權」：
「買權」就沒用了，因為門票都跌到 1500 元了，誰還會用 2100 元跟你買？所以買權作廢。
如果你一開始買了「賣權」：
這時候「賣權」就超有用了！你可以用保證價格 1900 元把門票賣出去，避免損失更多。即使現在門票只值 1500 元，你還是可以賣 1900 元！
如果你直接買了門票：
你的門票就只剩下 1500 元的價值，虧了 500 元。

發現了嗎？

仔細想想，下面這兩種組合，是不是有點像？

組合 A：買一個「買權」 + 現在先存一筆錢（這筆錢下個月剛好會變成 2100 元，也就是買權的「履約價」）
組合 B：買一個「賣權」 + 直接買一張門票

為什麼說他們「有點像」？

我們再來看看演唱會成功和失敗兩種情境下，這兩個組合的結果：

情境	組合 A (買權+存錢)	組合 B (賣權+門票)
演唱會成功 (門票漲到 2500)	買權賺 400 元 (2500 - 2100)，加上原本存的錢，總價值會隨著門票上漲而增加。	賣權作廢 (沒人要用 1900 元買)，但門票價值 2500 元，總價值也是隨著門票上漲而增加。
演唱會失敗 (門票跌到 1500)	買權作廢，但原本存的錢還在，總價值就是原本存的錢 (下個月變成 2100 元)。	賣權發揮作用，門票保證可以賣 1900 元，總價值也是接近原本存的錢 (1900 元)。

匯出到試算表

重點來了！

你會發現，組合 A 和組合 B，在演唱會成功或失敗兩種情況下，最後的結果「好像差不多」。這就是 Put-Call Parity 的概念！它告訴我們，買權、賣權、標的資產（這裡的門票），以及無風險的投資（這裡的存錢），它們的價格之間存在一個固定的關係。

公式現身 (別怕，很簡單！)

如果用更正式一點的數學公式來表達，就像這樣：

C + PV(K) = P + S

C 就是買權的價格
P 就是賣權的價格
S 就是現在門票 (標的資產) 的價格，2000 元
K 就是買權和賣權的「履約價」，也就是我們設定的 2100 元 (買權) 和 1900 元 (賣權)。但為了簡化，我們這裡先都用 2100 元來解釋。（Put-Call Parity 通常指買權和賣權履約價相同的情況）
PV(K) 是「履約價的現值」。意思就是說，如果你現在存一筆錢，讓這筆錢在下個月剛好變成 2100 元，你現在需要存多少錢？這就是一種折現的觀念，具體要存多少錢這會受到利率高低影響。

公式白話解釋：

買一個「預購權」的成本，加上現在存錢的成本，應該要等於買一個「保險」的成本，加上直接買一張門票的成本。
為什麼會有這種關係？因為市場是聰明的！如果這兩個組合的價格差太多，就會有人發現「套利機會」。

如果組合 A 比較貴，組合 B 比較便宜：
聰明人就會賣出貴的組合 A，買入便宜的組合 B，一樣可以無風險賺錢，直到價格回到 Parity 關係。

反過來，如果組合 B 比較貴，組合 A 比較便宜：
聰明人就會買入便宜的組合 A，賣出貴的組合 B，一樣可以無風險賺錢，直到價格回到 Parity 關係。